Question

已知函數f（x）=（x²+1）（x+a）（a∈R），當f′（-1）=0時，求函數y=f（x），在[-

3

2

，  1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由f（x）=x³+ax²+x+a，知f′（x）=3x²+2ax+1，故f′（-1）=3-2a+1=0，所以a=2．由此能求出函數y=f（x），在[-

3

2

，  1]上的最大值和最小值．

解答：解：f（x）=x³+ax²+x+a，
f′（x）=3x²+2ax+1，
f′（-1）=3-2a+1=0，
∴a=2.f′(x)=3x2+4x+1=3(x+

1

3

)(x+1)，
由f′(x)=3(x+1)(x+

1

3

)＞0，得x＜-1，或x＞-

1

3

；
由f′(x)=3(x+1)(x+

1

3

)＜0，得-1＜x＜-

1

3

．
∴函數的遞增區間是[-

2

3

，  -1]，   [-

1

3

，  1]；
函數的遞減區間是[-1，  -

1

3

]．
f(-

3

2

)=

13

8

，  f(-1)=2，  f(-

1

3

)=

50

27

，  f(1)=6，
∴函數f（x）在[-

3

2

，  1]上的最大值為6，最小值

13

8

．

點評：本題考查函數在閉區間上的最大值和最小值的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的靈活運用，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．