Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2，g(x)=

1

2

x2-ax+

a2

2

．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點P（3，f（3））處的切線方程；
（2）當函數y=f（x）在區間[0，1]上的最小值為-

1

3

時，求實數a的值；
（3）若函數f（x）與g（x）的圖象有三個不同的交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，f(x)=

1

3

x3-x2，求出切點的坐標與切點處的導數利用點斜式寫出切線方程即可；
（2）當函數y=f（x）在區間[0，1]上的最小值為-

1

3

時，求出其導數，對參數a的值進行討論確定出最值的大小，利用最小值為-

1

3

時建立方程求a．
（3）函數f（x）與g（x）的圖象有三個不同的交點，則f（x）-g（x）=0有三個根，利用導數研究相關函數的極值，由圖象確定出參數的范圍即可．

解答：（1）a=2時，f(x)=

1

3

x3-x2，f′（x）=x²-2x，
∴f（3）=0，f′（3）=3²-2×3=3
故切點坐標是（3，0），切點處導數是3
故曲線y=f（x）在點P（3，f（3））處的切線方程是y=3（x-3），即3x-y-9=0
（2）f′（x）=x²-ax=x（x-a）
當a＜0時，令導數大于0可得x＞0或x＜a，故函數在[0，1]上是增函數，故最小值在x=0處取到
驗證知不合題意
當a＞1時，可解得函數在[0，1]上是減函數故最小值在x=1處取到，即

1

3

-

a

2

=-

1

3

，a=

4

3

符合要求
當0＜a＜1時，驗證知，無解
故符合條件的值為a=

4

3

（3）函數f（x）與g（x）的圖象有三個不同的交點，則f（x）-g（x）=0有三個根，
令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

a

2

x2-

1

2

x2+ax-

a2

2

F′（x）=x²-ax-x+a=（x-1）（x-a）
F（x）=f（x）-g（x）=0有三個根，故a≠1且有F（1）F（a）＜0
故有(

1

3

-

a

2

-

1

2

+a-

a2

2

)(-

1

6

a3)＜0即a³（3a²-3a+1）＜0，
由于3a²-3a+1＞0恒成立，故a＜0
函數f（x）與g（x）的圖象有三個不同的交點，求實數a的取值范圍是a＜0

點評：本題考查利用導數研究函數某點處的切線的方程以及函數有三個交點的問題求參數，本題的求解關鍵是對求導公式的熟練掌握以及對函數最值的判斷方法，兩函數有三個交點求參數時問題的轉化方向．