Question

設函數f(x)=sin(2x+

π

3

)，則下列結論正確的是（　　）

• A．f（x）的最小正周期為π，且在[

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]為減函數
• B．f（x）的最小正周期為π，且在[0，

  π

  6

  ]上為增函數
• C．f（x）的圖象關于x=

  π

  3

  對稱
• D．f（x）的圖象關于(

  π

  4

  ，0)對稱

Answer 1

分析：由正弦函數圖象與性質可得出對稱軸為kn+

π

2

，令函數解析式中的角度等于此值，求出x的值，根據k為正整數可得x=

π

3

不是函數的對稱軸，故選項C錯誤；正弦函數關于kπ對稱，令角度等于此值，求出x的值，再根據k為正整數，得出函數圖象不關于（

π

4

，0）對稱，故選項D錯誤；再由函數解析式找出ω的值，代入周期公式求出函數的最小正周期，根據正弦函數的單調區間分別求出函數f（x）的單調遞增及遞減區間，即可對選項A和B作出判斷．

解答：解：令2x+

π

3

=kn+

π

2

，解得：x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），
∴x=

π

3

不是函數f（x）的對稱軸，故選項C錯誤；
令2x+

π

3

=kπ，解得：x=

kπ

2

-

π

6

，
∴f（x）的圖象不關于（

π

4

，0）對稱，故選項D錯誤；
由函數f(x)=sin(2x+

π

3

)，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
則函數f（x）的最小正周期為π，
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，
解得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
∵[

π

6

，

π

2

]是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]的子集，
則f（x）在[

π

6

，

π

2

]為減函數，
故選項A正確；
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得：kπ-

5π

6

≤x≤kπ+

π

12

，
選項B錯誤，
故選A．

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，正弦函數的單調性，以及正弦函數的對稱性，熟練掌握周期公式及正弦函數的圖象與性質是解本題的關鍵．