Question

設函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，給出以下四個論斷：
①它的圖象關于直線x=

π

12

對稱；     
②它的圖象關于點(

π

3

，0)對稱；
③它的周期是π；                   
④在區間[0，

π

6

)上是增函數．
以其中兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的命題：
條件

①③

結論

②

；（用序號表示）

Answer 1

分析：先由③知ω=2，再由對稱軸，可得函數解析式，然后判斷對稱性和單調性是否成立即可．

解答：解：若③函數的周期是π，則可得ω=2，
所以f（x）=sin（2x+φ），
若①圖象關于直線x=

π

12

對稱，則2×

π

12

+φ=kπ+

π

2

，解得φ=kπ+

π

3

，
因為-

π

2

＜φ＜

π

2

，所以φ=

π

3

．
所以f(x)=sin(2x+

π

3

)，
由2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
即函數單調區間[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈z），
因為當k=0時，單調區間為[-

5π

12

，

π

12

]．
所以在區間[0，

π

6

)上函數不是增函數，所以④不正確．
當x=

π

3

時，f(

π

3

)=sin?(2×

π

3

+

π

3

)=sin?π=0，所以它的圖象關于點(

π

3

，0)對稱，所以②正確．
所以①③⇒②．
故答案為：條件①③，結論②．

點評：本題主要考查三角函數的性質，考查學生分析問題的能力，綜合性較強．