Question

（2011•安徽模擬）設函數f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

，x∈[0，π]
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）記△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數解析式第一項利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后，再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由x的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的值域即可得到f（x）的值域；
（II）把x=B代入第一問化簡后的解析式中，令其值等于1，利用特殊角的三角函數值求出B的度數，
解法一：由b，c及cosB的值，利用余弦定理列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
解法二：由sinB，b及c的值，利用正弦定理求出sinC的值，進而確定出C的度數，由C的度數得到三角形為直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理及等腰三角形的性質得到a的值即可．

解答：解：（I）f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin(x-

π

6

)+1，…（3分）
∵x∈[0，π]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
則f(x)∈[

1

2

，2]；…（6分）
（II）由f(B)=1，得sin(B-

π

6

)=0，故B=

π

6

…（7分）
解法一：由余弦定理b²=a²+c²-2ac•cosB，
得a²-3a+2=0，解得a=1或2；…（12分）
解法二：由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得sinC=

3

2

，C=

π

3

或

2π

3

，
當C=

π

3

，A=

π

2

，從而a=

b2+c2

=2，…（9分）
當C=

2π

3

時，A=

π

6

，又B=

π

6

，從而a=b=1，…（11分）
故a的值為1或2．   …（12分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域和值域，正弦、余弦定理，勾股定理及等腰三角形的性質，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．