Question

（2011•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=sinx-

x

2

的導數(shù)為f'（x），且f'（x）的最大值為b，若g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調(diào)遞減，則實數(shù)k的取值范圍是

[0，+∞）

．

Answer 1

分析：先根據(jù)f'（x）的最大值為b求出b值，再由函數(shù)g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化成g'（x）≤0在[1，+∞）內(nèi)恒成立，利用參數(shù)分離法即可求出k的范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=sinx-

x

2

的導數(shù)為f'（x）=cosx-

1

2

，
∴b=

1

2

∵g（x）=2lnx-x²-kx在[1，+∞）上單調(diào)遞減
∴g'（x）=

2

x

-2x-k≤0在[1，+∞）內(nèi)恒成立．
即 a≥

2

x

-2x在[1，+∞）內(nèi)恒成立．
∵t=

2

x

-2x在[1，+∞）上的最大值為0，
∴k≥0．
故答案為：[0，+∞）．

點評：此題主要考查利用導函數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性，關于不等式恒成立問題要轉(zhuǎn)化成求最值問題來解決，屬于基礎題．