Question

設橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左右焦點分別為F₁，F₂，點P在橢圓上，若

PF1

?

PF2

=

5

2

，則|

PF1

|?|

PF2

|=（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  7

  2

• D、

  9

  2

Answer 1

分析：設|PF₁|=m、|PF₂|=n，根據橢圓的定義得到m+n=4．在△F₁PF₂中利用余弦定理，得4=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，結合

PF1

•

PF2

=

5

2

算出m²+n²=9，兩式聯解得出mn=

7

2

，即得|

PF1

|•|

PF2

|的值．

解答：解：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，a=2，b=

3

，可得c=

a2-b2

=1，焦距|F₁F₂|=2．
設|PF₁|=m、|PF₂|=n，
根據橢圓的定義，可得m+n=2a=4，平方得m²+2mn+n²=16…①．
△F₁PF₂中，根據余弦定理得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
即4=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，…②
∵

PF1

•

PF2

=

5

2

，∴

|PF1|

•

|PF2|

cos∠F₁PF₂=mncos∠F₁PF₂=

5

2

，
代入②并整理，可得m²+n²=9…③，
用①減去③，可得2mn=7，解得mn=

7

2

，即|

PF1

|•|

PF2

|=

7

2

．
故選：C

點評：本題已知橢圓上點P與兩個焦點構成向量的數量積，求P到兩個焦點的距離之積．著重考查了橢圓的定義與標準方程、向量的數量積公式和余弦定理等知識，屬于中檔題．