Question

已知數列a_n，b_n，滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1（b_n≠0）．
（I）求證數列{

1

bn

}是等差數列，并求數列a_n的通項公式；
（II）令C_n=b_nb_n+1，S_n為數列C_n的前n項和，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）將b_n=a_n-1代入2a_n=1+a_na_n+1，可得b_n的遞推關系式，整理變形可得

1

bn+1

-

1

bn

=1，由等差數列的定義可得 {

1

bn

}為等差數列，故可求其通項公式，進而求出a_n．
（2）根據（1）知C_n=b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項法求得數列 {C_n}的前n項的和，即可證得結論．

解答：解：（1）由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
∴b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，從而有

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴{

1

bn

}是首項為1，公差為1的等差數列，
∴

1

bn

=n，即 bn=

1

n

；
∴a_n=

1

n

+1=

n+1

n

，
（2）由題意可知：C_n=b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=C_n+C_n+C_n+…+C_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．
即S_n＜1．

點評：此題是個中檔題．本題主要考查了等比差數列的定義、裂項法求和問題，和不等式與數列的綜合．考查了學生對基礎知識的綜合運用．