Question

已知數列a_n、b_n中，對任何正整數n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若數列a_n是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列b_n是等比數列；
（2）若數列b_n是等比數列，數列a_n是否是等差數列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；
（3）若數列a_n是等差數列，數列b_n是等比數列，求證：

n

i=1

1

aibi

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）先求a_n=n，代入已知可得b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，則b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2）兩式相減可求數列b_n
（2）同（1）可得an=

2-q

b

•2n +

q-1

b

×n+

q-2

b

，結合q的取值及等差數列的通項公式可求
（3）利用放縮不等式

1

1×1

+

1

2×2

+

1

3×22

+…+

1

n×2n-1

＜

1

1×1

+

1

2×2

 +

1

2×22

+…+

1

2×2n-1

可證

解答：解：（1）依題意數列a_n的通項公式是a_n=n，
故等式即為b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2），
兩式相減可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1（3分）
得b_n=2^n-1，數列b_n是首項為1，公比為2的等比數列．（4分）
（2）設等比數列b_n的首項為b，公比為q，則b_n=bq^n-1，從而有：bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2（6分）
an=

2-q

b

×2n+

q-1

b

×n+

q-2

b

，
要使a_n+1-a_n是與n無關的常數，必需q=2（8分）
即①當等比數列b_n的公比q=2時，數列a_n是等差數列，其通項公式是an=

n

b

；
②當等比數列b_n的公比不是2時，數列a_n不是等差數列．（9分）
（3）由（2）知a_nb_n=n•2^n-1，（10分）
顯然n=1，2時

n

i=1

1

aibi

＜

3

2

當n≥3時

n

i=1

1

aibi

=

1

1×1

+

1

2×2

+

1

3×22

+

1

4×23

++

1

n×2n-1

＜

1

1×1

+

1

2×2

+

1

2×22

+…+

1

2×2n-1

（14分）
=1+

1

2×2

•

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

（16分）

點評：本題主要考查等差數列、等比數列通項公式及由數列的“和”轉化為“項”的綜合應用，考查運算能力和推理論證能力．解題中體現了分類討論的思想在解題中的應用．