Question

已知數列a_n，b_n，c_n滿足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
（1）設c_n=3n+6，a_n是公差為3的等差數列．當b₁=1時，求b₂，b₃的值；
（2）設c_n=n³，a_n=n²-8n求正整數k，使得一切n∈N^*均有b_n≥b_k．

Answer 1

分析：（1）先確定b_n+1-b_n=n+2，由b₁=1，迭代可得b₂，b₃的值；
（2）先確定b_n+1-b_n=

n3

2n-7

，由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，由此可得結論．

解答：解：（1）∵c_n=3n+6，a_n是公差為3的等差數列．
則由（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=c_n可得3（b_n+1-b_n）=3n+6
即b_n+1-b_n=n+2
又∵b₁=1
∴當n=1時，b₂-b₁=3，即b₂=4
當n=2時，b₃-b₂=5，即b₂=9
（2）∵c_n=n³，a_n=n²-8n
則由（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=c_n可得{[（n+1）²-8（n+1）]-（n²-8n）}（b_n+1-b_n）=n³，
∴b_n+1-b_n=

n3

2n-7

由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，即：b₄＜b₅＜b₆＜…
由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，即：b₁＞b₂＞b₃＞b₄
故k=4，使得對一切n∈N^*，均有b_n≥b_k．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的求和，考查恒成立問題，確定數列通項是解題的關鍵．