Question

如圖，一個計算裝置有兩個數據輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個運算結果輸出口Ⅲ，當Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數m，n時，輸出結果記為f（m，n），且計算裝置運算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則f（1，1）=1；
②若Ⅱ輸入1，Ⅰ輸入正整數增大1，則輸出結果為原來3倍；
③若Ⅰ輸入固定的正整數，Ⅱ輸入的正整數增大1，則輸出結果比原來增大3．試求：
（1）f（2，1）、f（3，1）的值，并推導f（m，1）的表達式（m∈N*）；
（2）寫出的關系等式，并求f（m，n）的表達式（m，n∈N*）；
（3）若Ⅰ，Ⅱ都輸入正整數n，則輸出結果f（n，n）能否為2011？若能，求出相應的n；若不能，則請說明理由．

Answer 1

解：（1）f（2，1）=3，f（3，1）=9
f（1，1）、f（2，1）、…、f（m，1）組成數列{f（m，1）}
由運算原理①、②得：f（1，1）=1，f（m，1）=3f（m﹣1，1）
∴數列{f（m，1）}是以f（1，1）=1為首項，以3為公比的等比數列
∴f（m，1）=f（1，1）3 ^m﹣1=3 ^m﹣1
（2）f（m，1）、f（m，2）、…、f（m，n）組成數列{f（m，n）}，
由運算原理③得：f（m，n）=f（m，n﹣1）+3
∴數列{f（m，n）}是以f（m，1）=3 ^m﹣1為首項，以3為公差的等差數列
∴f（m，n）=3 ^m﹣1+3（n﹣1）
（3）不能，理由如下：
由（2）得 f（n，n）=3 ^n﹣1+3（n﹣1），
易知f（n，n）=3 ^n﹣1+3（n﹣1）遞增
又∵f（7，7）=36+18=747＜2011，f（8，8）=37+21=2208＞2011，
∴f（n，n）輸出結果不可能為2011.