Question

如圖，一個計算裝置有兩個數據輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個運算結果輸出口Ⅲ，當Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數m，n時，輸出結果記為f（m，n），且計算裝置運算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則f（1，1）=1；②若Ⅰ輸入固定的正整數，Ⅱ輸入的正整數增大1，則輸出結果比原來增大3；③若Ⅱ輸入1，Ⅰ輸入正整數增大1，則輸出結果為原來3倍．試求：
（1）f（m，1）的表達式（m∈N）；
（2）f（m，n）的表達式（m，n∈N）；
（3）若Ⅰ，Ⅱ都輸入正整數n，則輸出結果f（n，n）能否為2006？若能，求出相應的n；若不能，則請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）仔細審題，按照題設條件一步一步地進行轉換，能夠導出f（m，1）的表達式（m∈N）．
（2）先由題設條件把f（m，n）轉化為f（m，1）+3（n-1），從而得到其結果．
（3）由f（7，7）=3⁶+18=747＜2006，f（8，8）=3⁷+21=2208＞2006，知f（n，n）輸出結果不可能為2006．
解答：解：（1）f（m，1）=3f（m-1，1）=3²f（m-2，1）═3^m-1f（1，1）=3^m-1，
（2），f（m，n）=f（m，n-1）+3=f（m，n-2）+3×2═f（m，1）+3（n-1）=3^m-1+3（n-1），
（3）f（n，n）=3^n-1+3（n-1），∵f（7，7）=3⁶+18=747＜2006，f（8，8）=3⁷+21=2208＞2006，
∴f（n，n）輸出結果不可能為：2006．
點評：本題考查數列的遞推式，題目比較新穎，解題的關鍵環節是認真審題，真正地理解題意．