Question

【題目】設，是函數的圖象上任意兩點，若為，的中點，且的橫坐標為．

（1）求；

（2）若，，求；

（3）已知數列的通項公式（，），數列的前項和為，若不等式對任意恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）根據中點坐標公式可知，所以，

，整理即可求得的值；（2）由第（1）問可知當時，為定值，觀察可知共項，根據倒序相加法可知，，，和均為定值2，共個2，所以和為，即得到的值；（3）由可知，為等差數列乘等比數列，所以求數列的前n項和采用錯位相減法，然后代入整理得到恒成立，所以只需，因此根據數列的單調性求出的最大值即可．本題以函數為背景，旨在考查數列的相關知識，考查倒序相加求和，錯位相減求和，同時還考查不等式恒成立問題．綜合性較強，考查學生對知識總體的把握能力．

試題解析：（1）由已知點M為線段AB的中點， 則：

∴

（2）由（1），當時，有

故

∴

（3）由已知：

不等式即

也即，即恒成立

故只需

令

當時，

當時，，當時，

故；

故

∴，解得：