Question

【題目】如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形中， 是邊的中點(diǎn)．將沿折起使得平面平面，如圖2， 是折疊后的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得，再根據(jù)線面平行判定定理得平面；（2）求二面角，一般利用空間向量進(jìn)行求解，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角之間相等或互補(bǔ)關(guān)系求解.

試題解析：（Ⅰ） 證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，

∵為中點(diǎn)，∴ ， ，

∴，

∴四邊形是平行四邊形

∴，又平面， 平面，

∴平面

（Ⅱ）如圖示以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立空間直角坐標(biāo)系

則由已知得，

，

設(shè)平面的法向量為

則

解得一個(gè)法向量為

設(shè)平面的法向量為

則

解得一個(gè)法向量為

∵， ，

∴二面角的平面角的余弦值．