Question

已知函數．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；
（3）設函數，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數求曲線的切線、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力，考查學生的分類討論思想、函數思想.第一問，對求導，將切點的橫坐標代入得到切線的斜率，再將切點的橫坐標代入到中，得到切點的縱坐標，利用點斜式得到切線的方程；第二問，在定義域內是增函數，只需在恒成立，對求導，由于分母恒正，只需分子在恒成立，設函數，利用拋物線的性質求出，令即可，解出P的值；第三問，先通過函數的單調性求出的值域，通過對P的討論研究的單調性，求出的值域，看是否有值大于的最小值為2.
（1）當時，函數，．
，曲線在點處的切線的斜率為．
從而曲線在點處的切線方程為，即．…4分
（2）．
令，要使在定義域內是增函數，只需在內恒成立．
由題意，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，∴，     只需，即時，
∴在內為增函數，正實數的取值范圍是．……9分
（3）∵在上是減函數，
∴時，；時，，即，
①當時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在軸的左側，且，所以在內是減函數．
當時，，因為，所以，，
此時，在內是減函數．
故當時，在上單調遞減，不合題意；
②當時，由，所以．
又由（2）知當時，在上是增函數，
∴，不合題意；
③當時，由（2）知在上是增函數，，
又在上是減函數，故只需，，
而，，
即，解得，
所以實數的取值范圍是．      14分