Question

9．已知函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在[1，+∞）上的單調性，并用定義證明；
（3）求函數f（x）在[-5，-3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）只需函數滿足：定義域關于原點對稱．$f（-x）=-x+\frac{1}{-x}=-（x+\frac{1}{x}）=-f（x）$，即可；
（2）?x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，判定f（x₁）-f（x₂）的符號即可；
（3）根據函數的單調性求出最值即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），定義域關于原點對稱．
又$f（-x）=-x+\frac{1}{-x}=-（x+\frac{1}{x}）=-f（x）$，所以函數f（x）為奇函數．----------------（3分）
（2）函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增．
?x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-（{x_2}+\frac{1}{x_2}）$=$（{x_1}-{x_2}）（\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}）$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即∴f（x₁）＜f（x₂）所以函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增．----------------------（6分）
（3）由于f（x）為奇函數，且f（x）在（1，+∞）上單調遞增，所以f（x）在[-5，-3]上單調遞增．
 所以f（x）的最大值為$f（-3）=-3+\frac{1}{-3}=-\frac{10}{3}$，f（x）的最小值為$f（-5）=-5+\frac{1}{-5}=-\frac{26}{5}$---------------------------（9分）

點評 本題考查了函數的奇偶性、定義法證明單調性、最值，屬于基礎題．