Question

（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，//，，，．

（1）求證：平面；

（2）求四面體的體積；

（2）線段上是否存在點，使//平面？證明你的結論．

 

Answer 1

（1）祥見解析；（2）；（2）祥見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用線面垂直的判定定理即可證明；

（2）利用（1）的結論可得AC⊥CF，又CF⊥CD，利用線面垂直的判定定理即可得出FC⊥平面ABCD．利用等腰梯形的性質即可得出△BCD的面積，利用三棱錐的體積公式即可得出；

（2）線段AC上存在點M，且M為AC中點時，有EA∥平面FDM．利用正方形的性質、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可證明．

試題解析：（1）證明：在△中，

因為 ，，，

所以 ． ------2分

又因為 ，

所以 平面． ------4分

（2）【解析】
因為平面，所以．

因為，所以平面．

在等腰梯形中可得 ，所以．

所以△的面積為 ．

所以四面體的體積為：．

（2）【解析】
線段上存在點，且為中點時，有// 平面，證明如下：

連結，與交于點，連接．

因為 為正方形，所以為中點．所以 //．

因為 平面，平面， 所以 //平面．

所以線段上存在點，使得//平面成立．

考點：1．直線與平面垂直的判定；2．棱柱、棱錐、棱臺的體積；3．直線與平面平行的判定．