Question

已知定點C（-1，0）及橢圓x²+3y²=5，過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點．
（Ⅰ）若線段AB中點的橫坐標是，求直線AB的方程；
（Ⅱ）設點M的坐標為，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將直線的點斜式方程（其中斜率為參數）代入橢圓方程，并設出交點A，B的坐標，消去Y后，可得一個關于X的一元二次方程，然后根據韋達定理（一元二次方程根與系數關系）易得A、B兩點中點的坐標表達式，再由AB中點的橫坐標是，構造方程，即可求出直線的斜率，進而得到直線的方程．
（2）由M點的坐標，我們易給出兩個向量的坐標，然后代入平面向量數量集公式，結合韋達定理（一元二次方程根與系數關系），不難不求出的值．
解答：解：（Ⅰ）依題意，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k（x+1），
將y=k（x+1）代入x²+3y²=5，消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
由線段AB中點的橫坐標是，得，
解得，適合（1）．
所以直線AB的方程為，或．
（Ⅱ）①當直線AB與x軸不垂直時，由（Ⅰ）知
所以=
將（3）代入，整理得=
②當直線AB與x軸垂直時，此時點A，B的坐標分別為，
此時亦有
綜上，
點評：與直線和圓錐曲線的位置關系有關的參數范圍問題，常采用解方程組的思想方法，轉化為判別式進行；與向量數量積有關的問題，常常利用韋達定理，以整體代入的方法求解，這樣可以避免求交點，使運算過程得到簡化．