Question

0423

（本題滿分14分）已知定點C（-1，0）及橢圓x²+3y²=5,過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點．（1）若線段AB中點的橫坐標是-，求直線AB的方程；（2）在x軸上是否存在點M，使為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) x-y+1=0,或x+y+1=0．   (Ⅱ)

解析:

（1）依題意，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k（x+1）,

將y=k（x+1）代入x²+3y²=5,消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．…2 分

設A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,

① ②

則  …4分

由線段AB中點的橫坐標是-，

得=-=-,解得k=±，適合①．         ……………6分

所以直線AB的方程為x-y+1=0,或x+y+1=0．………………7分

（2）假設在x軸上存在點M（m，0），使為常數．

（ⅰ）當直線AB與x軸不垂直時，由（1）知

x₁+x₂=-,x₁x₂=． ③

所以=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂

=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁+1）（x₂+1）

=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²．9分

將③代入，整理得=+m²=+m²

=m²+2m--．…11分注意到是與k無關的常數，從而有

6m+14=0，m=-，此時=．……12分

（ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，此時點A，B的坐標分別為、，

當m=-時，亦有=．綜上，在x軸上存在定點M，使為常數．14分