Question

已知定點C（-1，0）及橢圓x²+3y²=5，過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點．
（Ⅰ）若線段AB中點的橫坐標是-

1

2

，求直線AB的方程；
（Ⅱ）設點M的坐標為(-

7

3

，0)，求

MA

•

MB

的值．

Answer 1

分析：（1）將直線的點斜式方程（其中斜率為參數）代入橢圓方程，并設出交點A，B的坐標，消去Y后，可得一個關于X的一元二次方程，然后根據韋達定理（一元二次方程根與系數關系）易得A、B兩點中點的坐標表達式，再由AB中點的橫坐標是-

1

2

，構造方程，即可求出直線的斜率，進而得到直線的方程．
（2）由M點的坐標，我們易給出兩個向量的坐標，然后代入平面向量數量集公式，結合韋達定理（一元二次方程根與系數關系），不難不求出

MA

•

MB

的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k（x+1），
將y=k（x+1）代入x²+3y²=5，消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)＞0，(1) x1+x2=- 6k2 3k2+1 ．(2)

由線段AB中點的橫坐標是-

1

2

，得

x1+x2

2

=-

3k2

3k2+1

=-

1

2

，
解得k=±

3

3

，適合（1）．
所以直線AB的方程為x-

3

y+1=0，或x+

3

y+1=0．
（Ⅱ）①當直線AB與x軸不垂直時，由（Ⅰ）知x1+x2=-

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-5

3k2+1

．(3)
所以

MA

•

MB

=(x1+

7

3

)(x2+

7

3

)+y1y2=(x1+

7

3

)(x2+

7

3

)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2+

7

3

)(x1+x2)+k2+

49

9

.
將（3）代入，整理得

MA

•

MB

=

(k2+1)(3k2-5)+(k2+ 7 3 )(-6k2)

3k2+1

+k2+

49

9

=

4

9

.
②當直線AB與x軸垂直時，此時點A，B的坐標分別為(-1，

2

3

)、(-1，-

2

3

)，
此時亦有

MA

•

MB

=

4

9

.
綜上，

MA

•

MB

=

4

9

.

點評：與直線和圓錐曲線的位置關系有關的參數范圍問題，常采用解方程組的思想方法，轉化為判別式進行；與向量數量積有關的問題，常常利用韋達定理，以整體代入的方法求解，這樣可以避免求交點，使運算過程得到簡化．