Question

已知平面向量=（，-1），=（，）．
（I）若存在實數k和t，使得=+（t²-3），=-k+，且，試求函數的關系式k=f（t）；
（II）根據（I）結論，確定k=f（t）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量模的坐標公式求出向量的模，利用向量垂直的充要條件列出方程，將方程變形表示出k．
（II）求出函數f（t）的導數，令導數大于0，求出不等式的解集即為單調遞增區間；令導函數小于0求出不等式的解集為單調遞減區間．
解答：解：（I）∵
∴ 
∴
∵，∴
即，
∴t³-3t-4k=0
即k=

（II）由（I）知，k=f（t）=，
∴
令k′＜0得-1＜t＜1，令k′＞0得t＜0或t＞1
故k=f（t）的單調遞減區間是[-1，1]；
單調遞增區間是（-∞，-1]，[1，+∞）．
點評：本題考查向量模的坐標公式；向量垂直的充要條件；利用導數求函數的單調區間．