Question

已知平面向量=（，），=（，）．
（1）證明：⊥；
（2）若存在不同時為零的實數k和t，使=+（t²-k），=-s+t，且⊥，試求s=f（t）的函數關系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函數，試求k的取值范圍．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（1）證明：由題知，且，
∴．（4分）
（2）由于，則，
從而-s||²+（t+sk-st²）+t（t²-k）||²=0，
故s=f（t）=t³-kt．（8分）
（3）設t₁＞t₂≥1，
則-kt₂）
=（t₁-t₂）（），
∵s=f（t）在[1，+∞）上是增函數，
∴，
即k＜在[1，+∞）上恒成立，
∵＞3，
∴只需k≤3即可．（12分）
分析：（1）由題知，且，能夠證明．
（2）由于，則，從而-s||²+（t+sk-st²）+t（t²-k）||²=0，由此能夠求出s=f（t）=t³-kt．
（3）設t₁＞t₂≥1，則-kt₂）=（t₁-t₂）（），由s=f（t）在[1，+∞）上是增函數，知k＜在[1，+∞）上恒成立，由此能求出k的范圍．
點評：本題考查向量垂直的證明，考查函數解析式的求法，考查實數的取值范圍的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．