Question

（2011•上海模擬）為了研究某種癌細胞的繁殖規律和一種新型抗癌藥物的作用，將癌細胞注入一只小白鼠體內進行實驗，經檢測，癌細胞的繁殖規律與天數的關系如下表．已知這種癌細胞在小白鼠體內的個數超過10⁸時小白鼠將會死亡，注射這種抗癌藥物可殺死其體內癌細胞的98%．

天數t	1	2	3	4	5	6	7	…
癌細胞個數N	1	2	4	8	16	32	64	…

（1）要使小白鼠在實驗中不死亡，第一次最遲應在第幾天注射該種藥物？（精確到1天）
（2）若在第10天，第20天，第30天，…給小白鼠注射這種藥物，問第38天小白鼠是否仍然存活？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據表格可得癌細胞個數，成等比數列增長，首項為1，公比為2，其通項為a_t=2^t-1，要使小白鼠在實驗中不死亡，可建立不等式2^t-1≤10⁸，即可求得結論；
（2）設第n次注射藥物后小白鼠體內的這種癌細胞個數為a_n，可得a_n=2^10n-1（1-98%）ⁿ，從而可知第3次注射藥物后小白鼠體內的這種癌細胞個數，由此可得結論．

解答：解：（1）根據表格可得癌細胞個數，成等比數列增長，首項為1，公比為2，其通項為a_t=2^t-1，
要使小白鼠在實驗中不死亡，則2^t-1≤10⁸，即t-1≤8log₂10，解得t≤27.58，
∴第一次最遲應在27天注射該種藥物，小白鼠在實驗中不死亡；
（2）設第n次注射藥物后小白鼠體內的這種癌細胞個數為a_n，
則a₁=2⁹（1-98%），且a_n+1=2¹⁰（1-98%）a_n，∴a_n=2^10n-1（1-98%）ⁿ，
于是a₃=2^10×3-1（1-98%）³，即第3次注射藥物后小白鼠體內的這種癌細胞個數為

232

1003

到第38天小白鼠鼠體內的這種癌細胞個數為

232

1003

×28≈1.1×10⁷＜10⁸
∴第38天小白鼠仍然存活．

點評：本題考查數列模型的運用，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是確定數列模型．