Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，已知曲線（為參數），將上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的和倍后得到曲線.以平面直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線.

（1）試寫出曲線的極坐標方程與曲線的參數方程；

（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最小，并求此最小值.

Answer 1

【答案】（1）,（為參數）;（2）.

【解析】試題分析：（1）根據 將曲線的參數方程化為普通方程： ，再根據 將直角坐標方程化為極坐標方程；由圖像變換可得曲線的參數方程是（2）先根據 將直線化為直角坐標方程，再根據點到直線距離公式得，利用三角函數有界性確定函數最小值，并確定取最小值時的值，進而確定點坐標.

試題解析：（1）由已知得曲線的直角坐標方程是，

所以曲線的極坐標方程是.

根據已知曲線的參數方程伸縮變換得到曲線的參數方程是（為參數）.

（2）設，由已知得直線的直角坐標方程是，

即，所以點到直線的距離

，

當即時， ，此時點的坐標是，

所以曲線上的一點 到直線的距離最小，最小值是.