Question

已知等腰梯形PDCB中(如圖),PB=3,DC=1,PD=BC=,A為PB邊上一點,且PA=1,將△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如圖).
(1)證明：平面PAD⊥平面PCD.
(2)試在棱PB上確定一點M,使截面AMC把幾何體分成的兩部分V_PDCMA∶V_MACB=2∶1.
(3)在M滿足(2)的情況下,判斷直線PD是否平行平面AMC.

Answer 1

（1）見解析   （2）M為線段PB的中點時   （3）不平行

(1)因為PDCB為等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,則PA⊥AD,CD⊥AD.
又因為面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD?面ABCD,故CD⊥面PAD.
又因為CD?面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.
(2)所求的點M即為線段PB的中點.
證明如下：
設三棱錐M-ACB的高為h₁,四棱錐P-ABCD的高為h₂,
當M為線段PB的中點時,==,
所以===,所以截面AMC把幾何體分成的兩部分V_PDCMA∶V_MACB=2∶1.
(3)當M為線段PB的中點時,直線PD與面AMC不平行.
證明如下：(反證法)假設PD∥面AMC,
連接DB交AC于點O,連接MO.
因為PD?面PBD,且面AMC∩面PBD=MO,
所以PD∥MO.
因為M為線段PB的中點時,則O為線段BD的中點,即=,
而AB∥DC,故==,故矛盾.
所以假設不成立,故當M為線段PB的中點時,直線PD與平面AMC不平行.