Question

已知函數f（x）=[x²-（a+2）x-2a²+a+2]e^x．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）設a＞0，x=2是f（x）的極值點，函數h（x）=xe^-xf（x）．若過點A（0，m）（m≠0）可作曲線y=h（x）的三條切線，求實數m的取值范圍；
（3）設a＞1，函數g（x）=（a²+4）e^x，若存在x₁∈[0，1]、x₂∈[0，1]，使|f（x₁）-f（x₂）|＜12，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=[x²-（a+2）x-2a²+a+2]e^x
∴f'（x）=（x²-ax-2a²）e^x
由f'（x）≥0得：（x+a）（x-2a）≥0
①當a＞0時，x≤-a或x≥2a，∴f（x）的增區間為（-∞，-a]，[2a，+∞）
②當a=0時，x∈R，∴f（x）的增區間為（-∞，+∞）
③當a＜0時，x≤2a或x≥-a，∴f（x）的增區間為（-∞，-a]，[-a，+∞）
（2）∵x=2是f（x）的極值點，∴f′（2）=0即a²+a-2=0，∴a=-2或a=1
∵a＞0，∴a=1，∴f（x）=（x²-3x+1）e^x，∴h（x）=xe^-xf（x）=x³-3x²+x．
∵A（0，m）（m≠0），∴A不在曲線上
設切點坐標為（a，h（a）），則h′（a）=，即2a³-3a²+m=0
于是問題轉化為關于a的方程2a³-3a²+m=0有三個不等實根
令φ（a）=2a³-3a²+m，則φ′（a）=6a（a-1）
由φ′（a）≥0得a≤0或a≥1
∴φ（a）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增
∴當φ（0）=m＞0，φ（1）=m-1＜0，即0＜m＜1時，方程2a³-3a²+m=0有三個不等實根
∴m的取值范圍為（0，1）；
（3）當a＞1時，由（1）可知，函數在[0，1]上單調遞減，∴x₁∈[0，1]時，函數f（x）的值域為[（1-2a²）e，-2a²+a+2]
∵函數g（x）=（a²+4）e^x，在[0，1]上單調遞增，∴x₂∈[0，1]時，函數g（x）的值域為[a²+4，（a²+4）e]
∵a²+4＞-2a²+a+2
∴要滿足題意，只需a²+4-（-2a²+a+2）＜12且a＞1
∴1＜a＜2
∴實數a的取值范圍為（1，2）．
分析：（1）求導函數，令由f'（x）≥0，對a分類討論，即可求得函數f（x）的單調增區間；
（2）根據x=2是f（x）的極值點，求得函數的解析式，進而可得函數h（x）的解析式，求得A（0，m）（m≠0）不在曲線上，設切點坐標為（a，h（a）），可得2a³-3a²+m=0，于是問題轉化為關于a的方程2a³-3a²+m=0有三個不等實根，構造函數，可求m的取值范圍；
（3）確定函數f（x）、g（x）的值域，要滿足題意，只需a²+4-（-2a²+a+2）＜12且a＞1，由此可求實數a的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查曲線的切線，考查恒成立問題，正確求導，確定函數的單調性與最值時關鍵．