Question

復數z=(

1

2

-

3

2

i)2是一元二次方程ax²+bx+1=0（a，b∈R）的根，
（1）求a和b的值；      （2）若(a+bi)

.

u

+u=z（u∈C），求u．

Answer 1

分析：（1）根據所給的復數的表示形式，寫出復數的最簡形式，根據復數是實系數方程的解，得到方程的另一個解，根據韋達定理得到要求的a，b的值．
（2）設出復數u的表示式，根據所給的等式，整理成最簡形式，根據復數相等的充要條件，得到關于u的實部和虛部的關系式，解方程組即可．

解答：解：（1）∵復數z=(

1

2

-

3

2

i)2
∴Z=-

1

2

-

3

2

i，
因為方程ax²+bx+1=0（a．b∈R）是實系數一元二次方程，
所以它的另一個根為-

1

2

+

3

2

i
由韋達定理知：

(- 1 2 - 3 2 i)+(- 1 2 + 3 2 i)=- b a (- 1 2 - 3 2 i)(- 1 2 + 3 2 i)= 1 a

?

a=1 b=1

（2）由（1）知(1+i)

.

u

+u=-

1

2

-

3

2

i，設u=x+yi（x，y∈R）
則：(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-

1

2

-

3

2

i，
得(2x+y)+xi=-

1

2

-

3

2

i

2x+y=- 1 2 x=- 3 2

?

x=- 3 2 y= 3 - 1 2

，
∴u=-

3

2

+

2 3 -1

2

i．

點評：本題考查復數相等的充要條件，考查實系數二次方程的根和系數之間的關系，本題是一個易錯題，易錯點是根和系數的關系的應用．