Question

函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+

1

2

bx2+2ax，f′（x）是它的導函數(shù)．
（Ⅰ）當b=1時，若f（x）在區(qū)間(

2

3

，+∞)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍．
（Ⅱ）當1≤x≤2時，f′（x）≥0恒成立，求a²+b²+10a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）b=1時，函數(shù)的導函數(shù)為f^′（x）=-x²+x+2a，若f（x）在區(qū)間(

2

3

，+∞)存在單調(diào)遞增區(qū)間，應是在給定的區(qū)間內(nèi)，有子區(qū)間使得導函數(shù)值大于0，然后借助于二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸一定列不等式求a的取值范圍；
（Ⅱ）導函數(shù)仍然是二次函數(shù)，開口向下，在閉區(qū)間上大于等于0恒成立，只要兩端點的函數(shù)值同時大于等于0即可，得到關于a、b的二次不等式組后，分析二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，運用幾何意義知：a²+b²+10a=

(a+5)2+b2

2-25，最后求點（-5，0）到區(qū)域內(nèi)最近點的距離．

解答：解：（Ⅰ）當b=1時，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，f^′（x）=-x²+x+2a，若f（x）在區(qū)間(

2

3

，+∞)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則在區(qū)間(

2

3

，+∞)內(nèi)存在子區(qū)間使得f^′（x）=-x²+x+2a＞0，
因?qū)Ш瘮?shù)對應的圖象是開口向下的拋物線，且對稱軸方程為x=

1

2

，那么要使在區(qū)間(

2

3

，+∞)內(nèi)存在子區(qū)間使得f^′（x）=-x²+x+2a＞0成立，
只需f′(

2

3

)=-(

2

3

)2+

2

3

+2a＞0，解得：a＞-

1

9

．
所以a的范圍為{a|a＞-

1

9

}．
（Ⅱ）由f(x)=-

1

3

x3+

1

2

bx2+2ax，得f^′（x）=-x²+bx+2a，導函數(shù)圖象是開口向下的拋物線，要使當1≤x≤2時，f′（x）≥0恒成立，則

f′(1)=-12+b+2a≥0 f′(2)=-22+2b+2a≥0

即

2a+b-1≥0 a+b-1≥0

而a²+b²+10a=（a+5）²+b²-25=

(a+5)2+b2

2-25，二元一次不等式組

2a+b-1≥0 a+b-1≥0

表示的平面區(qū)域內(nèi)的動點（a，b）為（-1，3）時到定點（-5，0）的距離最小，
此時有（a²+b²+10a）_min=（-1+5）²+3²-25=0．
所以，滿足當1≤x≤2時，f′（x）≥0恒成立的a²+b²+10a的最小值為0．

點評：本題第一問考查了運用導函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的符號判斷原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性問題，解答的關鍵是理解f（x）在區(qū)間(

2

3

，+∞)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間的意義；第二問是基本的二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)大于0恒成立問題，求最值時體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，同時訓練了二元一次不等式所表示的平面區(qū)域問題，綜合性強．