Question

已知定義在R的奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），下面四種說法
①f（3）=1；
②函數f（x）在[-6，-2]上是增函數；
③函數f（x）關于直線x=4對稱；
④若m∈（0，1），則關于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和為-8，
其中正確的序號

①④

．

Answer 1

分析：取x=1，得f（-3）=-f（1）=1，再由函數為奇函數，可得f（3）的值，判斷①；
由f（x-4）=f（-x）可得f（x-2）=f（-x-2），結合奇函數利用函數f（x）關于直線x=-2對稱，進而根據函數圖象的對稱性，可分析出（4，0）點為對稱中心，從而判斷②；
結合f（x）為奇函數且f（x），及x∈[0，2]時，函數的解析式，結合對數函數的單調性，復合函數的單調性，及奇函數在對稱區間上單調性相同，函數在對稱軸兩側單調性相反，可判斷出函數f（x）在[-6，-2]上的單調性，進而判斷③；
若m∈（0，1），則關于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，故可得結論．

解答：解：取x=1，得f（1-4）=f（-3）=-f（1）=-log₂（1+1）=-1，所以f（3）=-f（-3）=1，故①正確；
定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），則f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函數f（x）關于直線x=-2對稱，
由于函數對稱中心原點（0，0）的對稱點為（4，0），故函數f（x）也關于（4，0）點對稱，故③不正確；
∵x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1）為增函數，
由奇函數在對稱區間上單調性相同可得，x∈[-2，0]時，函數為單調增函數，
∴x∈[-2，2]時，函數為單調增函數，
∵函數f（x）關于直線x=-2對稱，∴函數f（x）在[-6，-2]上是減函數，故②不正確；
若m∈（0，1），則關于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，所以所有根之和為-8．故④正確
故答案為：①④

點評：本題考查函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．