Question

20．已知函數f（x）=$\frac{a}{x}-{e^{-x}}（a∈R$且x＞0）．若存在實數p，q（p＜q），使得f（x）≤0的解集恰好為[p，q]，則a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$]
• B． （一∞，$\frac{1}{e}$]
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （一∞，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 分別討論a的取值范圍，利用參數分離法，結合導數研究函數的最值即可得到結論．

解答 解：當a=0時，f（x）=-e^-x＜0，則不存在f（x）≤0的解集恰為[p，q]，
當a＜0時，f（x）＜0，此時函數f（x）單調遞增，則不存在f（x）≤0的解集恰為[p，q]，
當a＞0時，由f（x）≤0得$\frac{a}{x}$≤e^-x，
當x＞0時，不等式等價為a≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，
設g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
當x＞1時，g′（x）＜0，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，
即當x=1時，g（x）取得極大值，同時也是最大值g（1）=$\frac{1}{e}$，
∴若存在實數p，q，使得f（x）≥0的解集恰為[p，q]，
則必有a＜$\frac{1}{e}$，
即0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故選：C．

點評 本題主要考查導數的綜合應用，考查分類討論的數學思想，綜合性較強，難度較大．