Question

已知函數f(x)=

1

4

x4+x3-

9

2

x2+cx有三個極值點．
（I）證明：-27＜c＜5；
（II）若存在實數c，使函數f（x）在區間[a，a+2]上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）題目中：“有三個極值點”先轉化為其導數的零點問題，即f'（x）=x³+3x²-9x+c=0有三個互異的實0即可；
（2）存在性問題，由于f（x）的單調遞減區間是（-∞，x₁]，[x₂，x₃]，只需[a，a+2]是（-∞，x₁]或[x₂，x₃]的子集即可．

解答：解：（I）因為函數f(x)=

1

4

x4+x3-

9

2

x2+cx有三個極值點，
所以f'（x）=x³+3x²-9x+c=0有三個互異的實根．
設g（x）=x³+3x²-9x+c，則g'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
當x＜-3時，g'（x）＞0，g（x）在（-∞，-3）上為增函數；
當-3＜x＜1時，g'（x）＜0，g（x）在（-3，1）上為減函數；
當x＞1時，g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上為增函數；
所以函數g（x）在x=-3時取極大值，在x=1時取極小值．
當g（-3）≤0或g（1）≥0時，g（x）=0最多只有兩個不同實根．
因為g（x）=0有三個不同實根，所以g（-3）＞0且g（1）＜0．
即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0，
解得c＞-27，且c＜5，故-27＜c＜5．
（II）由（I）的證明可知，當-27＜c＜5時，f（x）有三個極值點．
不妨設為x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），則f'（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）．
所以f（x）的單調遞減區間是（-∞，x₁]，[x₂，x₃]
若f（x）在區間[a，a+2]上單調遞減，
則[a，a+2]?（-∞，x₁]，或[a，a+2]?[x₂，x₃]，
若[a，a+2]?（-∞，x₁]，則a+2≤x₁．由（I）知，x₁＜-3，于是a＜-5．
若[a，a+2]?[x₂，x₃]，則a≥x₂且a+2≤x₃．由（I）知，-3＜x₂＜1．
又f'（x）=x³+3x²-9x+c，當c=-27時，f'（x）=（x-3）（x+3）²；
當c=5時，f'（x）=（x+5）（x-1）²．
因此，當-27＜c＜5時，1＜x₃＜3．所以a＞-3，且a+2≤3．
即-3＜a＜1．故a＜-5，或-3＜a＜1．反之，當a＜-5，或-3＜a＜1時，
總可找到c∈（-27，5），使函數f（x）在區間[a，a+2]上單調遞減．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-5）∪（-3，1）．

點評：本題考查了導數的幾何意義，利用導數求閉區間上函數的最值，恒成立問題的處理方法