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設(shè)函數(shù)f(x)=acos2ωx+
3
acosωxsinωx+b(0<ω<2,a≠0)
x=
π
6
是其函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)若f(x)的定義域?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">[-
π
3
π
3
],值域?yàn)閇-1,5],求a,b的值.
分析:(Ⅰ)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為 b+
a
2
+acos(2ωx-
π
3
),再由 x=
π
6
是其函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸,可得 2ω•
π
6
-
π
3
=kπ,k∈z,由此求得ω 的值.
(Ⅱ)由(1)可得 f(x)=b+
a
2
+acos(2x-
π
3
),再根據(jù)x∈[-
π
3
π
3
]
,可得cos(2x-
π
3
)∈[-1,1].再由函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,5],可得 ①
a>0
b+
a
2
=5
b-
a
2
=-1
,或②
a<0
b+
a
2
=-1
b-
a
2
=5
,由此求得a、b的值.
解答:解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=acos2ωx+
3
acosωxsinωx+b(0<ω<2,a≠0)
=
a
2
+
a
2
cos(2ωx)+
3
2
asin(2ωx)=b+
a
2
+acos(2ωx-
π
3
),
再由 x=
π
6
是其函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸,可得 2ω•
π
6
-
π
3
=kπ,k∈z,ω=3k+1,
∴ω=1.
(Ⅱ)由(1)可得 f(x)=b+
a
2
+acos(2x-
π
3
),再根據(jù)x∈[-
π
3
π
3
]
,可得 2x-
π
3
∈[-π,
π
3
],故cos(2x-
π
3
)∈[-1,1].
再由函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,5],可得 ①
a>0
b+
a
2
=5
b-
a
2
=-1
,或②
a<0
b+
a
2
=-1
b-
a
2
=5

由①可得
a=6
b=2
,解②可得
a=-6
b=2

綜上可得
a=6
b=2
,或  
a=-6
b=2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解析式,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+
π
6
)
+sin2x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)A,B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角,若AB=1,sinB=
1
3
f(
C
2
)=
3
2
,求AC的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(考生注意:只能從下列A、B、C三題中選做一題,如果多做,則按第一題評(píng)閱記分)
A.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)曲線
x=cosα
y=1+sinα
(α為參數(shù))與曲線ρ2-2ρcosθ=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
2
2

B.(不等式選講選做題)設(shè)函數(shù)f(x)=
|x+1|+|x-2|-a
,若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
(-∞,3]
(-∞,3]

C.(幾何證明選講選做題)如圖,從圓O外一點(diǎn)A引圓的切線AD和割線ABC,已知AC=6,圓O的半徑為3,圓心O到AC的距離為
5
,則AD=
2
3
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•順義區(qū)一模)已知向量
m
=(2cos
x
2
,1)
n
=(cos
x
2
,-1)
,(x∈R),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅱ)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C,若f(A)=
1
3
BC=2
3
,AC=3
,求邊長AB的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:順義區(qū)一模 題型:解答題

已知向量
m
=(2cos
x
2
,1)
n
=(cos
x
2
,-1)
,(x∈R),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅱ)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C,若f(A)=
1
3
BC=2
3
,AC=3
,求邊長AB的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理)已知函數(shù)f(x)=ax2+4(a為非零實(shí)數(shù)),設(shè)函數(shù)F(x)=f(x),x>0,-f(x),x<0.

(1)若f(-2)=0,求F(x)的表達(dá)式;

(2)在(1)的條件下,解不等式1≤|F(x)|≤2;

(3)設(shè)mn<0,m+n>0,試判斷F(m)+F(n)能否大于0?

(文)杭州風(fēng)景區(qū)有一家自行車租車公司,公司設(shè)有A、B、C三個(gè)營業(yè)站,顧客可以從任何一處營業(yè)站租車,并在任何一處營業(yè)站還車.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)租車處與還車處有如下的規(guī)律性:

①在A站租車者有30%在A站還車,20%在B站還車,50%在C站還車;

②在B站租車者有70%在A站還車,10%在B站還車,20%在C站還車;

③在C站租車者有40%在A站還車,50%在B站還車,10%在C站還車.

記P(XY)表示“某車由X站租出還至Y站的概率”,P(XY)P(YZ)表示“某車由X站租出還至Y站,再由Y站租出還至Z站的概率”.按以上約定的規(guī)則,

(1)求P(CC);

(2)求P(AC)P(CB);

(3)設(shè)某輛自行車從A站租出,求此車歸還至某站再次出租后,回到A站的概率.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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