Question

設函數f(x)=cos(2x+

π

6

)+sin2x．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）設A，B，C為△ABC的三個內角，若AB=1，sinB=

1

3

，f(

C

2

)=

3

2

，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）先利用兩角和公式對函數解析式化簡整理，然后利用正弦函數的單調性，求得函數遞增時2x+

π

3

的范圍，進而求得x的范圍，則函數的單調增區間可求得．
（2）把x=

C

2

代入函數解析式求得C的值，進而求得sinC的值，利用正弦定理求得AC的值．

解答：解：f(x)=cos(2x+

π

6

)+sin2x=cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

+sin2x=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，則kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z).
（2）由已知f(

C

2

)=sin(C+

π

3

)=

3

2

，
因為0＜C＜π，∴

π

3

＜C+

π

3

＜

4π

3

所以C+

π

3

=

2π

3

，C=

π

3

，∴sinC=

3

2

在△ABC中，由正弦定理，

AC

sinB

=

AB

sinC

，
得AC=

AB•sinB

sinC

=

1 3

3 2

=

2 3

9

點評：本題主要考查了兩角和公式的化簡求值，三角函數的基本性質以及正弦定理的應用．考查了學生對三角函數基礎知識的綜合運用．