Question

已知函數f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3
（1）用五點法畫出它在一個周期內的閉區間上的圖象；
（2）求函數f（x）的單調增區間；
（3）若x∈[

π

3

，

4π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）用五點法函數y=Asin（ωx+∅）在一個周期上的簡圖．
（2）由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，求得x的范圍，即可求得函數的增區間．
（3）根據x的范圍，求得角

x

2

+

π

6

的范圍，再根據正弦函數的定義域和值域求得f（x）的最大值和最小值．

解答：（1）列表、作圖…．（4分）

x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
1 2 x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
y	3	6	3	0	3

（2）由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，求得-

2π

3

+2kπ≤

x

2

≤

π

3

+2kπ，k∈Z，
所以，-

4π

3

+4kπ≤x≤

2π

3

+4kπ，k∈Z，
所以函數f（x）的單調增區間為[-

4π

3

+4kπ，

2π

3

+4kπ]，k∈Z．-------（8分）
（3）因為

π

3

≤x≤

4π

3

，所以

π

6

≤

x

2

≤

2π

3

，所以

π

3

≤

x

2

+

π

6

≤

5π

6

，
所以當

x

2

+

π

6

=

5π

6

，即x=

4π

3

時，[f(x)]min=

9

2

．
當

x

2

+

π

6

=

π

2

，即x=

2π

3

時，[f（x）]_max=6．----------（12分）

點評：本題主要考查用五點法作函數y=Asin（ωx+∅）的簡圖，函數y=Asin（ωx+∅）的周期性和求法，求函數y=Asin（ωx+∅）的單調區間，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．