Question

已知函數(shù)f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函數(shù)，在（-∞，-2）上是減函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若x∈[

1

e

-1，e-1]時，f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函數(shù)，在（-∞，-2）上是減函數(shù)，f（x）在x=-2處取得極值點(diǎn)，可得f′（-2）=0利用方程求出a值，從而求解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的最值，求出f（x）在x∈[

1

e

-1，e-1]的最值，要使f（x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m即可，從而求出m的取值范圍；

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²，
∴f′（x）=2x+2-

2(1+x)a

(x+1)2

=2（x+1）-

2a

x+1

∵函數(shù)f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函數(shù)，在（-∞，-2）上是減函數(shù)
f（x）在x=-2處取得極值，
依題意得f′（2）=-2+2a=0，所以a=1，從而f（x）=（x+1）²-ln（x+1）²，
…．（6分）
（2）f′（x）=

2(x+1)2-2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

，
令f′（x）=0，得x=0或x=-2（舍去），
f（x）在[

1

e

-1，0]遞減，在[0，e-1]遞增，
且f(

1

e

-1)＜f(e-1)，所以m＞f（e-1）=e²-2…（12分）

點(diǎn)評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，以及函數(shù)的恒成立問題，利用到了轉(zhuǎn)化的思想，是一道中檔題；