Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）e^x定義域為[-2，t]（t＞-2），設f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[-2，t]上為單調函數；
（2）求證：n＞m．

Answer 1

分析：（1）求導函數，由導數的正負，確定函數的單調性，根據f（x）在[-2，t]上為單調函數，即可確定t的取值范圍；（2）f（x）在x=1處取得極小值f（1）=e，根據f（-2）=13e^-2＜e，可得f（x）僅在x=-2處取得[-2，t]上的最小值f（-2），從而當t＞-2時，f（-2）＜f（t），故問題得證．

解答：（1）解：因為f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x．         2分
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減．            4分
欲使f（x）在[-2，t]上為單調函數，則[-2，t]⊆（-∞，0），
∴-2＜t≤0．                 6分
（2）證明：因為f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值f（1）=e.8分
又∵f（-2）=13e^-2＜e，所以f（x）僅在x=-2處取得[-2，t]上的最小值f（-2）.10分
從而當t＞-2時，f（-2）＜f（t），即m＜n.12分

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的極值與最值，確定函數的單調性是關鍵．