Question

設x₁，x₂是函數f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a，b∈R，a＞0)的兩個極值點，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）求a與b的關系式；
（2）令函數g(a)=

1

3

a3-

1

4

a2+a+1，求函數g（a）的值域．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因為x₁，x₂是函數的兩個極值點，所以x₁，x₂是f′（x）=0的兩個實數根，根據a大于0，利用韋達定理得到兩根之積小于0即兩根異號，且表示出|x₁|+|x₂|，根據其值等于2列出a與b的關系式即可；
（2）從（1）中a與b的關系式中找出a的取值范圍即為g（a）的定義域，求出g′（a）=0時a的值，利用a的值在定義域范圍中，討論g′（a）的符號得到g（a）的單調區間，利用g（a）的增減性即可得到g（a）的最值，即可得到g（a）的值域．

解答：解：（1）f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，
∴x₁，x₂是方程f′（x）=ax²+bx-a²=0的兩個實數根．
∵a＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-

b

a

，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

b2 a2 +4a

∵|x₁|+|x₂|=2，
∴

b2 a2 +4a

=2即a與b的關系式為b²-4a²+4a³=0；
（2）由（1）知b²-4a²+4a³=0，即b²=4a²-4a³≥0，∴0＜a≤1
∴函數g（a）的定義域為（0，1]
g′（a）=a²-

5

2

a+1=（a-

1

2

）（a-2）
∴a=

1

2

是函數g（a）的極值點
∴a，g′（a），g（a）的變化如下：

∴g（1）≤g（a）≤g（

1

2

）即

13

12

≤g（a）≤

59

48

∴g（a）的值域為[

13

12

，

59

48

]

點評：本題要求學生會利用導函數的正負得到函數的單調性，會根據函數的增減性得到函數的極值，靈活運用韋達定理化簡求值，會求函數的定義域和值域，是一道中檔題．