Question

設x₁，x₂是函數f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）的兩個極值點，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）求a的取值范圍；
（2）求證：|b|≤

4 3

9

．

Answer 1

分析：（1）由x₁，x₂是f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）的兩個極值點，知x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²=0的兩個根，由此入手能夠證明0＜a≤1．
（2）由x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=4，知b²=4a²（1-a），令g（a）=4a²（1-a）=-4a³+4a²，得到g′（a）=-4a（3a-2）．由此能夠證明|b|≤

4 3

9

．

解答：解：（1）易得f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點
∴x₁，x₂是f′（x）=0的兩個實根
又a＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-

b

a

（3分）
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 a2 +4a

（3分）
∵|x₁|+|x₂|=2，∴

b2

a2

+4a=4，即b²=4a²-4a³=4a²（1-a），
∵b²≥0，∴0＜a≤1（2分）
（2）由（1）知b²=4a²（1-a），
令g（a）=4a²（1-a）=-4a³+4a²，則g′（a）=-4a（3a-2）．（2分）
由g′（a）＞0，得0＜a＜

2

3

，由g′（a）＜0，得

2

3

＜a≤1（2分）
∴g（a）在(0，

2

3

)上單調遞增，在(

2

3

，1]上單調遞減
∴當a=

2

3

時，g（a）取得極大值也是最大值．
∴g(a)max=g(

2

3

)=

16

27

（2分）
∴：|b|≤

4 3

9

．

點評：本題考查導數在最大值、最小值中的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．