Question

若數列{a_n}是公比為q的等比數列，但數列{a_n+a_n+1}不是等比數列，則公比q=

 

．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知寫出a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，進一步得到a_n+a_n+1，a_n+1+a_n+2，作比后分類討論得答案．

解答： 解：設數列{a_n}的首項為a₁，由題意知a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，
a_n+a_n+1=a₁q^n-1+a₁qⁿ=a₁qⁿ（

1

q

+1），
a_n+1+a_n+2=a₁qⁿ+a₁qⁿ⁺¹=a₁qⁿ（1+q）
當q=-1時，數列{a_n+a_n+1}為a_n=0的一個常數列，是一個等差數列
當q≠-1時，

an+1+an+2

an+an+1

=

1 q +1

1+q

=

1

q

．
當q≠1時，

1

q

是一個不為1的常數，所以數列{a_n+a_n+1}是等比數列；
當q=1時，

1

q

=1，∴數列{a_n+a_n+1}是一個常數列，它既是等差數列，又是等比數列．
綜上，滿足數列{a_n}是公比為q的等比數列，但數列{a_n+a_n+1}不是等比數列的公比q=-1．
故答案為：-1．

點評：本題考查了等比數列的定義，考查了等比數列的性質，屬中檔題．