Question

（2010•濟南二模）等比數列{a_n}的公比為q，前n項的積為T_n，并且滿足a₁＞1，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀-1＞0，（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0，給出下列結論①0＜q＜1；②a₂₀₀₉•a₂₀₁₁＜1；③T₂₀₁₀是T_n中最大的；④使得T_n＞1成立的最大的自然數是4018．其中正確結論的序號為

①②④

．（將你認為正確的全部填上）

Answer 1

分析：根據（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0判斷出a₂₀₀₉＜1或a₂₀₁₀＜1，先看a₂₀₀₉＜1，則可知a₂₀₁₀＞1假設a₂₀₀₉＜0，那么q＜0，則可知a₂₀₁₀應與a₁異號，推斷出a₂₀₁₀＜0與a₂₀₁₀＞1矛盾，假設不成立，推斷出q＞0，根據a₂₀₀₉=a₁q²⁰⁰⁸應推斷出a₂₀₀₉=a₁q²⁰⁰⁸應該大于1假設不成立，進而綜合可推斷0＜q＜1判斷出①正確．由結論（1）可知數列從2010項開始小于1，進而可推斷出T₂₀₀₉是T_n中最大的③不正確，根據等比中項的性質可知a₂₀₀₉•a₂₀₁₁=a²₂₀₁₀＜1推斷出②正確．根據等比中項的性質可知當T_n=（a²⁰⁰⁹）²時，T_n＞1成立的最大的自然數，求的n推斷出④正確．

解答：解：∵（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0
∴a₂₀₀₉＜1或a₂₀₁₀＜1
如果a₂₀₀₉＜1，那么a₂₀₁₀＞1
如果a₂₀₀₉＜0，那么q＜0
又a₂₀₁₀=a₁q²⁰⁰⁹，所以a₂₀₁₀應與a₁異號，即a₂₀₁₀＜0
和前面a₂₀₁₀＞1的假設矛盾了
∴q＞0
又或者a₂₀₀₉＜1，a₂₀₁₀＞1，
那么a₂₀₀₉=a₁q²⁰⁰⁸應該大于1
又矛盾了．因此q＜1
綜上所述 0＜q＜1，故①正確
a₂₀₀₉•a₂₀₁₁=a²₂₀₁₀＜1故②正確．，
由結論（1）可知數列從2010項開始小于1
∴T₂₀₀₉為最大項③不正確．
由結論1可知數列由2010項開始小于1，
T_n=a₁a₂a₃…a_n
∵數列從第2010項開始小于1，
∴當T_n=（a²⁰⁰⁹）²時，T_n＞1成立的最大的自然數
求得n=4018，故④正確．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查了等比數列的性質．考查了學生分析問題和解決問題的能力．