Question

（2010•濟南二模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于D、E（圖一），沿DE將△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC（圖二）．

（1）若F是AB的中點，求證：CF∥平面ADE．
（2）P是AC上任意一點，求證：平面ACD⊥平面PBE．
（3）P是AC上一點，且AC⊥平面PBE，求二面角P-BE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）取BD的中點為M，連續FM，CM，根據中位線可知MF∥AD，而△BCD為等邊三角形，則CM⊥BD，又DE⊥BD，所以CM∥DE，從而面CFM∥面ADE，CF?面CMF，根據面面平行的性質可知CF∥面ADE；
（2）由平面幾何知識可知BE⊥CD，AD⊥DE，平面ADE⊥平面BDEC，則AD⊥平面BDEC，從而AD⊥BE，根據線面垂直的判定定理可知BE⊥面ACD，而BE∈面PBE，最后根據面面垂直的判定定理可知平面ACD⊥平面PBE；
（3）根據（2）BE⊥面ACD，設BE∩CD=Q，則BE⊥CD，BE⊥PQ，根據二面角平面角的定義可知∠PQC為二面角P-BE-C的平面角，在三角形PQC中求出此角即可．

解答：解：（1）證明：取BD的中點為M，連續FM，CM
∵F為AB的中點，∴MF∥AD，
由題知△BCD為等邊三角形，∴CM⊥BD，又DE⊥BD
∴CM∥DE，∴面CFM∥面ADE，CF?面CMF，CF∥面ADE
（2）證明：由平面幾何知識：BE⊥CD，AD⊥DE，平面ADE⊥平面BDEC∴AD⊥平面BDEC，∴AD⊥BE，∴BE⊥面ACDBE∈面PBE，
∴平面ACD⊥平面PBE
（3）由（2）BE⊥面ACD，
設BE∩CD=Q，
由題意知BE⊥CD，BE⊥PQ，∴∠PQC為二面角P-BE-C的平面角
AD=CD，∠ACD=45°∴△ACD∽△CPQ，∠PQC=45°
∴二面角P-BE-C的大小為45°

點評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的判斷，以及二面角的度量，此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學們要課下要多練習．