Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

1

2

n2+

11

2

n．數列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，數列{c_n}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＞

k

57

對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值；
（Ⅲ）設f（n）=

an(n=2l-1 ， l∈N*) bn(n=2l ，l∈N*)

，是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用S_n=

1

2

n2+

11

2

n，再寫一式，兩式相減，可求數列{a_n}的通項公式，確定{b_n}是等差數列，利用b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153，建立方程組，可求數列{b_n}的通項公式；
（II）利用裂項法求和，確定T_n單調遞增，即可得到結論；
（III）確定函數解析式，分類討論，利用得f（m+15）=5f（m），即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=6；
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5．
而a₁=6滿足上式，∴a_n=n+5（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
∴{b_n}是等差數列．設公差為d．
又b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153
∴

b1+2d=11 9b1+36d=153

，解得b₁=5，d=3．
∴b_n=3n+2
（Ⅱ）cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

n

2n+1

∴T_n+1-T_n=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0
∴T_n單調遞增，∴(Tn)min=T1=

1

3

．
令

1

3

＞

k

57

，得k＜19，∴k_max=18．
（Ⅲ）f(n)=

an(n=2l-1 ， l∈N*) bn(n=2l ，l∈N*)

（1）當m為奇數時，m+15為偶數，∴3m+47=5m+25，m=11．
（2）當m為偶數時，m+15為奇數，∴m+20=15m+10，m=

5

7

∉N*（舍去）．
綜上，存在唯一正整數m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．