Question

已知橢圓的中心是原點O，焦點在x軸上，過其右焦點F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點，若橢圓上存在一點C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15，求這個橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出直線、橢圓的方程，聯(lián)立方程，利用韋達定理，結合四邊形OACB為平行四邊形，確定C的坐標，代入橢圓方程，即可求得離心率；
（2）求出AB，原點到直線l的距離，可得△OAB的面積，利用△OAC的面積為15，求這個橢圓的方程．
解答：解：（1）設橢圓方程為，直線l：y=x-c
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為（x，y），則
直線方程代入橢圓方程可得（a²+b²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0
∴x₁+x₂=，∴x=，y=x-c=
∵四邊形OACB為平行四邊形
∴C（，）
代入橢圓方程并化簡可得4c²=a²+b²
∵b²=a²-c²
∴2a²=5c²
∴e=；
（2）由題意，S_△OAC=S_△OAB
∵直線AB過焦點F，∴AB=AF+FB=（a-ex₁）+（a-ex₁）=2a-e（x₁+x₂）=2a-e•①
∵，∴，
代入①，可得AB=
∵原點到直線l的距離d==
∴△OAB的面積等于=
由，可得a=10，∴b²=60
∴橢圓的方程為．
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．