Question

已知橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F(c，0)(c＞0)的準線l與x軸交于點A，且|OF|＝2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．

(1)求橢圓的方程及離心率．

(2)若，求直線PQ的方程．

(3)設，過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，求證：．

Answer 1

答案：
解析：

(1)依題意設橢圓方程為：，由已知得： 　　 　　∴橢圓方程為離心率………………4分 　　(2)設直線PQ：與橢圓聯立得： 　　設P(x1，y1)，Q(x1，y2) 　　由△＞0得，由韋達定理 　　 　　∵∴ 　　∴韋達定理代入并化簡得： 　　∴，故所求直線PQ方程為 　　或………………………………9分 　　(3)∵∴ 　　∴………………10分∵注意到 　　解得∵F(0，2)M() 　　∴ 　　 　　又 　　故……………………………………14分