Question

18．若$0≤θ≤\frac{π}{2}$，當點（1，cosθ）到直線xsinθ+ycosθ-1=0的距離是$\frac{1}{4}$時，這條直線的斜率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -1
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根據點到直線的距離公式建立方程關系，求出θ的值，結合直線的斜率進行求解即可．

解答 解：點（1，cosθ）到直線xsinθ+ycosθ-1=0的距離d=$\frac{|sinθ+cos^2θ-1|}{\sqrt{sin^2θ+cos^2θ}}$=|sinθ-sin²θ|=$\frac{1}{4}$，
∵$0≤θ≤\frac{π}{2}$，∴0≤sinθ≤1，則sinθ-sin²θ≥0，
則sinθ-sin²θ=$\frac{1}{4}$，
即4sin²θ-4sinθ+1=0，
則（2sinθ-1）²=0，
則sinθ=$\frac{1}{2}$，則θ=$\frac{π}{6}$，
則直線的斜率k=-$\frac{sinθ}{cosθ}$=-tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：D

點評 本題主要考查直線斜率的計算，根據點到直線的距離公式求出角θ的值是解決本題的關鍵．