Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并用定義證明你的結(jié)論．
（2）解不等式f(x+

1

2

)＞f(2x-

1

2

)
（3）若f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式f(x+

1

2

)＞f(2x-

1

2

)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得不等式的解集．
（3）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
下用定義證明：
設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，
則：f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

(x1-x2)＜0，
可知f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)知：
不等式f(x+

1

2

)＞f(2x-

1

2

)等價為：

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 2 ≤1 x+ 1 2 ＞2x- 1 2

解得-

1

4

≤x≤

1

2

，
故不等式的解集[-

1

4

，

1

2

]．
（3）∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）≤f（1）=1，
即f（x）_max=1
依題意有m²-2am+1≥1，對a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，它的圖象是一條線段，
則

g(-1)=m2+2m≥0 g(1)=m2-2m≥0

，
即

m≥0或m≤-2 m≥2或m≤0

∴m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．