Question

（Ⅰ）求函數f（x）=sin（2x+

π

6

）的導函數f′（x），并求f′（0）的值．
（Ⅱ）已知a，b是不相等的正數，且a＞0，b＞0，求證：

a3+b3

＞

a2b+ab2

．

Answer 1

考點：不等式的證明,導數的運算

專題：證明題,分析法,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）求導函數，代入計算，可求f′（0）的值．
（Ⅱ）利用分析法證明，要證：

a3+b3

＞

a2b+ab2

，即證：（a-b）²（a+b）＞0，根據a，b是不相等的正數，且a＞0，b＞0，即可得證．

解答： （I）解：∵f（x）=sin（2x+

π

6

），
∴f′（x）=2cos（2x+

π

6

），
∴f′（0）=

3

…（4分）
（II）證明：要證：

a3+b3

＞

a2b+ab2

，
由a＞0，b＞0，即證：a³+b³＞a²b+ab²，
即證：a³+b³-a²b-ab²＞0，
即證：（a-b）²（a+b）＞0（6分）
∵a，b是不相等的正數，且a＞0，b＞0，
∴原不等式成立…（8分）

點評：本題考查不等式的證明，考查分析法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．