Question

（2011•鹽城二模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，P是橢圓上一點，l為左準線，PQ⊥l，垂足為Q，若四邊形PQFA為平行四邊形，則橢圓的離心率e的取值范圍是

（-1+

2

，1）

．

Answer 1

分析：設P（x，y），根據PQ⊥l且四邊形PQFA為平行四邊形，得|PQ|=x+

a2

c

=a+c，可得x=a+c-

a2

c

．利用點P的橫坐標滿足x∈（-a，a），建立關于a、c的不等式組，再化成關于離心率的一元二次不等式，解之即可得到橢圓的離心率e的取值范圍．

解答：解：設P（x，y），則
∵PQ⊥l，四邊形PQFA為平行四邊形，
∴|PQ|=x+

a2

c

=a+c，可得x=a+c-

a2

c

∵橢圓上點P的橫坐標滿足x∈[-a，a]，且P、Q、F、A不在一條直線上
∴-a＜a+c-

a2

c

＜a，即2a+c-

a2

c

＞0且c-

a2

c

＜0
化簡得2+e-

1

e

＞0，即e²+2e-1＞0
解之得e＜-1-

2

或e＞-1+

2

∵橢圓的離心率e∈（0，1）
∴橢圓的離心率e的取值范圍是（-1+

2

，1）
故答案為：（-1+

2

，1）

點評：本題給出橢圓上一點P在左準線上的射影點為Q，P、Q與左焦點F和右頂點A構成平行四邊形，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．