精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

如圖，橢圓的標準方程為 $數(shù)學公式$ ，P為橢圓上的一點，且滿足PF₁⊥PF₂，
（1）求三角形PF₁F₂的面積．
（2）若此橢圓長軸為8，離心率為 $數(shù)學公式$ ，求點P的坐標．

解：（1）根據(jù)橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，平方得|PF₁|²+2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=4a²
又PF⊥PF₂∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²∴|PF₁||PF₂|=2b²
∴S= $\text{[math]}$ |PF₁||PF₂|=b²…7′．
（2）由a=4， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 得b²=4 ….9′
∴橢圓的標準方程為 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1 …..10′
由PF⊥PF₂∴P為以F₁F₂為直徑的圓上．….13′
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1 ①x²+y²=12 ②
聯(lián)列方程組得x= $\text{[math]}$ y=± $\text{[math]}$
∴點P的坐標：P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） P₂（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
P₃（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ） P₄（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）….15′
分析：（1）利用直角三角形的勾股定理及橢圓的定義得到關于|PF₁|，|PF₂|的方程，求出|PF₁|•|PF₂|的值，利用直角三角形的面積公式求出△PF₁F₂的面積．
（2）由題知：a=4，得出橢圓的標準方程，再根據(jù)PF⊥PF₂得到P為以F₁F₂為直徑的圓上，兩者結合組成方程組求解即可得點P的坐標．
點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的簡單性質(zhì)的應用，以及用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程的方法，考查計算能力．

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如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點為A（0，

），且離心率等于

，過點M（0，2）且斜率為k的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點（與點B不重合），橢圓與x軸的正半軸相交于點B．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若

•

=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•鹽城模擬）（本題文科學生做）如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），A（0，8），直線y=t（0＜t＜8）與線段AF₁、AF₂分別交于點P、Q．
（Ⅰ）當t=3時，求以F₁，F(xiàn)₂為焦點，且過PQ中點的橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點Q作直線QR∥AF₁交F₁F₂于點R，記△PRF₁的外接圓為圓C．
①求證：圓心C在定直線7x+4y+8=0上；
②圓C是否恒過異于點F₁的一個定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由．

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