Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點為A（0，

2

），且離心率等于

3

2

，過點M（0，2）且斜率為k的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點（與點B不重合），橢圓與x軸的正半軸相交于點B．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若

PB

•

QB

=0，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題設條件求出b²和a²，由此可以求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，依題意有△=（16k）²-4×（1+4k²）×8＞0，由此解得k＞

1

2

或k＜-

1

2

．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再由根與系數和關系和

PB

•

QB

=0，能夠求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)（1分）
因為它的一個頂點為A（0，

2

），所以b²=2，由離心率等于

3

2

，
得

a2-b2 a2

=

3

2

，解得a²=8，
所以橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

2

=1（4分）
（Ⅱ）由已知設直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
依題意有△=（16k）²-4×（1+4k²）×8＞0，解得k＞

1

2

或k＜-

1

2

（2分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

16k

1+4k2

，
且x1x2=

8

1+4k2

，由

PB

•

QB

=0
得(1+k2)x1x2+2(k-

2

)(x1+x2)+12=0（2分）
于是(1+k2)×

8

1+4k2

+2(k-

2

)×(-

16k

1+4k2

)+12=0，
整理得6k2+8

2

k+5=0，
解得k=-

2

2

或k=-

5 2

6

，又-

5 2

6

＜-

2

2

＜-

1

2

，
但k=-

2

2

時，y=-

2

2

x+2此時點Q與點B重合，舍去，所以直線l的方程是y=-

5 2

6

x+2（3分）

點評：本題考查直線和圓錐軸線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．